Moving Average Model Estimation

8.4 Verschieben von Durchschnittsmodellen Anstatt vergangene Werte der Prognosedatei in einer Regression zu verwenden, verwendet ein gleitendes Durchschnittsmodell vergangene Prognosefehler in einem Regressionsmodell. Y c et the theta e dots theta e, wobei et weißes Rauschen ist. Wir bezeichnen dies als MA (q) - Modell. Natürlich beobachten wir nicht die Werte von et, also ist es nicht wirklich Regression im üblichen Sinne. Man beachte, daß jeder Wert von yt als gewichteter gleitender Durchschnitt der letzten Prognosefehler betrachtet werden kann. Jedoch sollten gleitende Durchschnittsmodelle nicht mit der gleitenden glatten Glättung verwechselt werden, die wir in Kapitel 6 besprochen haben. Ein gleitendes Durchschnittsmodell wird für die Prognose zukünftiger Werte verwendet, während die gleitende gleitende Durchschnittskurve für die Abschätzung des Trendzyklus der vergangenen Werte verwendet wird. Abbildung 8.6: Zwei Beispiele für Daten aus gleitenden Durchschnittsmodellen mit unterschiedlichen Parametern. Links: MA (1) mit yt 20e t 0,8e t-1. Rechts: MA (2) mit y t e t - e t-1 0,8e t-2. In beiden Fällen ist e t normal verteiltes Weißrauschen mit Mittelwert Null und Varianz Eins. Abbildung 8.6 zeigt einige Daten aus einem MA (1) - Modell und einem MA (2) - Modell. Das Ändern der Parameter theta1, dots, thetaq führt zu unterschiedlichen Zeitreihenmustern. Wie bei autoregressiven Modellen wird die Varianz des Fehlerterms et nur den Maßstab der Reihe ändern, nicht die Muster. Es ist möglich, jedes stationäre AR (p) - Modell als MA (infty) - Modell zu schreiben. Beispielsweise können wir dies bei einem AR (1) - Modell demonstrieren: begin yt amp phi1y et amp phi1 (phi1y e) et amp phi12y phi1 e et amp phi13y phi12e phi1 e et amptext end Vorausgesetzt -1 lt phi1 lt 1 wird der Wert von phi1k kleiner, wenn k größer wird. So erhalten wir schließlich yt und phi1 e phi12 e phi13 e cdots, ein MA (infty) Prozess. Das umgekehrte Ergebnis gilt, wenn wir den MA-Parametern einige Einschränkungen auferlegen. Dann wird das MA-Modell invertierbar. Das heißt, dass wir alle invertierbaren MA (q) Prozess als AR (infty) Prozess schreiben können. Invertible Modelle sind nicht einfach, damit wir von MA-Modellen auf AR-Modelle umwandeln können. Sie haben auch einige mathematische Eigenschaften, die sie in der Praxis einfacher zu verwenden. Die Invertibilitätsbedingungen sind den stationären Einschränkungen ähnlich. Für ein MA (1) Modell: -1lttheta1lt1. Für ein MA (2) - Modell: -1lttheta2lt1, theta2theta1 gt-1, theta1 - theta2 lt 1. Kompliziertere Bedingungen gelten für qge3. Wiederum wird R diese Einschränkungen bei der Schätzung der Modelle berücksichtigen. Von P. M. T. Broersen - IEEE Trans. Instrument Meas. 2002. Abstrakt. Die erhöhte Rechengeschwindigkeit und die Entwicklungen in der Robustheit von Algorithmen haben die Möglichkeit, automatisch ein gut passendes Zeitreihenmodell für stochastische Daten zu identifizieren. Es ist möglich, mehr als 500 Modelle zu berechnen und nur eine zu wählen, die sicherlich eine von t ist. Abstrakt. Die erhöhte Rechengeschwindigkeit und die Entwicklungen in der Robustheit von Algorithmen haben die Möglichkeit, automatisch ein gut passendes Zeitreihenmodell für stochastische Daten zu identifizieren. Es ist möglich, mehr als 500 Modelle zu berechnen und nur eine auszuwählen, die sicherlich eines der besseren Modelle ist, wenn nicht das beste. Dieses Modell charakterisiert die spektrale Dichte der Daten. Zeitreihenmodelle sind für Zufallsdaten hervorragend, wenn der Modelltyp und die Modellreihenfolge bekannt sind. Für unbekannte Dateneigenschaften muss eine große Anzahl von Kandidatenmodellen berechnet werden. Dies schließt notwendigerweise zu niedrige oder zu hohe Modellordnungen und Modelle der falschen Typen ein, wodurch robuste Schätzmethoden erforderlich sind. Der Computer wählt eine Modellreihenfolge für jeden der drei Modelltypen aus. Aus diesen drei wird der Modelltyp mit der kleinsten Erwartung des Vorhersagefehlers ausgewählt. Dieses einzigartige ausgewählte Modell enthält genau die statistisch signifikanten Details, die in den Daten vorhanden sind. 1 optimaler asymptotischer Straffaktor 3 (Broersen, 2000b Broersen und Wensink, 1996). 6.2 MA-Schätzung Die Durbins-Methode für die MA-Schätzung garantiert die Invertierbarkeit mit allen Nullen im Einheitskreis (-Durbin, 1959-). Theoretisch ist ein MA (q) - Modell mit einem AR () - Modell unter Verwendung von B (z) 1 / A (z) äquivalent. Durbins-Methode verwendet die geschätzten Parameter eines langen AR-Modells, um das MA-Modell zu approximieren. Natürlich. Von P. M. T. Broersen - IEEE Trans. Über Instrumentierung und Messung. 2000 ZusammenfassungDiese Analyse beschränkt sich auf die spektrale Analyse stationärer stochastischer Prozesse mit unbekannter spektraler Dichte. Die wichtigsten spektralen Schätzmethoden sind: parametrisch mit Zeitreihenmodellen oder nichtparametrisch mit einem Fensterperiodogramm. Ein einziges Zeitreihenmodell wird mit einem Str. ZusammenfassungDiese Analyse beschränkt sich auf die spektrale Analyse stationärer stochastischer Prozesse mit unbekannter spektraler Dichte. Die wichtigsten spektralen Schätzmethoden sind: parametrisch mit Zeitreihenmodellen oder nichtparametrisch mit einem Fensterperiodogramm. Ein einziges Zeitreihenmodell wird mit einem statistischen Kriterium aus drei zuvor geschätzten und ausgewählten Modellen ausgewählt: dem besten autoregressiven (AR) Modell, dem besten gleitenden Durchschnitt (MA) und dem besten kombinierten ARMA Modell. Die Genauigkeit des Spektrums, berechnet aus diesem einzigen ausgewählten Zeitreihenmodell, wird mit der Genauigkeit einiger Fensterperiodogramschätzwerte verglichen. Das Zeitreihenmodell ergibt im allgemeinen ein Spektrum, das besser ist als das bestmögliche Fensterperiodogramm. Es ist eine Tatsache, dass ein einziges gutes Zeitreihenmodell automatisch für statistische Daten mit unbekannter spektraler Dichte ausgewählt werden kann. Es ist Fiktion, dass objektive Entscheidungen zwischen windowed Periodogramme gemacht werden können. Index TermsARMA-Modelle, Identifikation, Auftragsauswahl, parametrisches Spektrum, Spektralgenauigkeit, Spektralschätzung, Zeitreihen. I. een formuliert für spezifische MA und ARMA Algorithmen. Nach der Entdeckung der optimalen Länge des langen autoregressiven Zwischenmodells 15, 16 können die Durbins-Verfahren -17-, 18 verwendet werden. Dieses Papier beschäftigt sich mit stationären stochastischen Prozessen mit unbekannten Spektren, nicht mit deterministischen oder periodischen Signalen Manuskript erhielt 26. Mai 1998 überarbeitet 10. März 2000. Die autho. Von P. M. T. Broersen - in Signal Process. VIII, Proc. Eusipco Conf. 1996. Die Durbinaposs-Methode für die Verschiebung der durchschnittlichen (MA) Schätzung verwendet die geschätzten Parameter eines langen AutoRegressive (AR) - Modells, um die gewünschten MA-Parameter zu berechnen. Eine theoretische Ordnung für dieses lange AR-Modell ist, aber sehr hohe AR-Aufträge führen zu ungenauen MA-Modellen in der endlichen Beispielpraxis. Ein neues t. Die Durbinampaposs-Methode für die gleitende durchschnittliche (MA) Schätzung verwendet die geschätzten Parameter eines langen AutoRegressive (AR) - Modells, um die gewünschten MA-Parameter zu berechnen. Eine theoretische Ordnung für dieses lange AR-Modell ist, aber sehr hohe AR-Aufträge führen zu ungenauen MA-Modellen in der endlichen Beispielpraxis. Ein neues theoretisches Argument wird vorgestellt, um einen Ausdruck für die beste endliche lange AR-Ordnung für ein bekanntes MA-Verfahren und eine gegebene Probengröße abzuleiten. Intermediate AR-Modelle von genau dieser Reihenfolge produzieren die genauesten MA-Modelle. Diese neue Reihenfolge unterscheidet sich von der besten AR-Reihenfolge für die Vorhersage verwendet werden. Es wird ein Algorithmus vorgestellt, der die Verwendung der Theorie für die beste lange AR-Ordnung in bekannten Prozessen auf Daten eines unbekannten Prozesses ermöglicht. I. Theorie für die beste lange AR-Reihenfolge in bekannten Prozessen zu Daten eines unbekannten Prozesses. I. EINFÜHRUNG Bei der Suche nach einer sicheren, robusten und praktischen Lösung für das MA-Schätzproblem ist das Durbin039s-Verfahren -1 - vielversprechend. Ein nichtlineares Schätzproblem wird durch zwei Stufen linearer Schätzung ersetzt. Zuerst werden die Parameter eines langen autoregressiven Modells aus den Daten abgeschätzt. Danach wird ein zweiter p. Von Jorge Mari, Anders Dahln, Anders Lindquist - Automatica J. IFAC. 1998. In dieser Arbeit betrachten wir ein dreistufiges Verfahren zur Identifizierung von Zeitreihen, basierend auf Kovarianz-Erweiterung und Modellreduktion und präsentieren eine vollständige Analyse der statistischen Konvergenzeigenschaften. Eine Teilkovarianzsequenz wird aus statistischen Daten abgeschätzt. Dann eine höhere Ordnung. In dieser Arbeit betrachten wir ein dreistufiges Verfahren zur Identifizierung von Zeitreihen, basierend auf Kovarianz-Erweiterung und Modellreduktion und präsentieren eine vollständige Analyse der statistischen Konvergenzeigenschaften. Eine Teilkovarianzsequenz wird aus statistischen Daten abgeschätzt. Dann wird ein Maximum-Entropie-Modell höherer Ordnung ermittelt, welches schließlich durch ein Modell niedrigerer Ordnung durch eine stochastisch ausgeglichene Modellreduktion approximiert wird. Solche Verfahren wurden zuvor in verschiedenen Kombinationen untersucht, aber eine Gesamtkonvergenzanalyse, die alle drei Schritte umfasst, fehlt. Angenommen, die Daten werden aus einem echten finiten-dimensionalen System erzeugt, das minimalphasig ist, wird gezeigt, dass die Übertragungsfunktion des geschätzten Systems in H zu der wahren Übertragungsfunktion neigt, wenn die Datenlänge zu unendlich ist, wenn die Kovarianzerweiterung und die Modellreduktion durchgeführt werden richtig. Die vorgeschlagene Identifizierung Verfahren, und einige Variationen von it, werden durch Simulationen ausgewertet. 1. zurück auf die Wold-Zerlegung 55, wo L 2 - Konvergenz von hochrangigen AR-Modellen zu allgemeinen analytischen Modellen gezeigt wird. Pioniere bei der Verwendung dieses Konzeptes für die Systemidentifikation sind Durbin -12, 13- und Whittle 54 Konvergenz-Eigenschaften solcher Approximationen wurden von Berk 2 untersucht und später in 36, 34, 33, 7 verfeinert. Das interessante Papier 7 enthält schöne Proofs von einigen der Konvergenz. Von P. M. T. Broersen, S. De Waele - Proc. 2. IEEE Benelux Signal Proc. Symp. SPS-2000. 2000 ABSTRAKT: Maximale Likelihood (ML) Schätzung maximiert die Wahrscheinlichkeitsfunktion und ist ein gefeiertes Prinzip in der linearen Regressionsanalyse. Asymptotisch wird die Cramr-Rao-Untergrenze für die Kovarianzmatrix von ungünstigen Schätzparametern durch den Maximum-Likelihood-Schätzer erreicht. Mit asymp. ABSTRAKT: Maximale Likelihood (ML) Schätzung maximiert die Wahrscheinlichkeitsfunktion und ist ein gefeiertes Prinzip in der linearen Regressionsanalyse. Asymptotisch wird die Cramr-Rao-Untergrenze für die Kovarianzmatrix von ungünstigen Schätzparametern durch den Maximum-Likelihood-Schätzer erreicht. Mit asymptotischen Argumenten wurde bewiesen, dass dieses Prinzip auch auf die Autoregression und die allgemeineren autoregressiven Moving Average (ARMA) Modelle in der Zeitreihenanalyse angewendet werden kann. Es wird zumindest in Lehrbüchern vorgeschlagen, dass eine nähere Annäherung der exakten Wahrscheinlichkeit in der Maximierung eine bessere Schätzung für Zeitreihenmodelle ergibt. Im Gegensatz dazu zeigt die Finite-Probe-Praxis oft anders. Einige finite Beispiel-Tatsachen und ihre Einschätzung Implikationen werden diskutiert. Als anfängliche Vorprobe-Innovationen und unbedingte Kleinstquadrate (ULS) mit Rückprojektion für Vorproben-Approximationen 3,20 Verwendung einer langen Kovarianz-Schätzung 5,18,21 Unter Verwendung eines langen AR-Modells -19,23- als Zwischenprodukt. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist symmetrisch für Nullen, die in Bezug auf den Einheitskreis gespiegelt sind, so dass die mit ML erhaltenen Spiegelungsnullen keine Einwände haben. Least squares solutions CLS und U. von Joseph M. Francos, Benjamin Friedlander. Dieses Papier betrachtet das Problem der Schätzung der Parameter von zweidimensionalen gleitenden mittleren Zufallsfeldern. Zuerst beschäftigen wir uns mit dem Problem, die Kovarianzmatrix der nicht symmetrischen halbplanaren, nicht-kausalen und quadratischen gleitenden mittleren Zufallsfelder in Form der Modellparameter auszudrücken. Dieses Papier betrachtet das Problem der Schätzung der Parameter von zweidimensionalen gleitenden mittleren Zufallsfeldern. Zuerst beschäftigen wir uns mit dem Problem, die Kovarianzmatrix der nicht symmetrischen halbplanaren, nicht-kausalen und quadratischen gleitenden mittleren Zufallsfelder in Form der Modellparameter auszudrücken. Unter der Annahme, dass das zufällige Feld Gauss ist, ergibt sich für die Cramer-Rao-Untergrenze ein geschlossener Formausdruck für die Fehlerabweichung bei der gemeinsamen Schätzung der Modellparameter. Ein rechnerisch effizienter Algorithmus zur Schätzung der Parameter des gleitenden mittleren Modells wird entwickelt. Der Algorithmus passt anfangs zu einem zweidimensionalen autoregressiven Modell auf das beobachtete Feld und verwendet dann die geschätzten Parameter, um das gleitende Durchschnittsmodell zu berechnen. Ein Maximum-Likelihood-Algorithmus für die Schätzung der MA-Modellparameter wird ebenfalls vorgestellt. Die Performance der vorgeschlagenen Algorithmen wird durch Monte-Carlo-Simulationen illustriert und mit der Cramer-Rao-Bindung verglichen. Von P. M. T. Broersen - Prozesse, Signalverarbeitung IX, Proc. Eusipco Conf. Rhodes, Griechenland. 1998. Neue Entwicklungen in der Zeitreihenanalyse können verwendet werden, um eine bessere spektrale Darstellung für unbekannte Daten zu bestimmen. Jeder stationäre Prozess kann mit einem der drei Modelltypen AR (autoregressiv), MA (gleitender Durchschnitt) oder dem kombinierten ARMA-Modell genau modelliert werden. Im Allgemeinen ist die beste Art un. Neue Entwicklungen in der Zeitreihenanalyse können verwendet werden, um eine bessere spektrale Darstellung für unbekannte Daten zu bestimmen. Jeder stationäre Prozess kann mit einem der drei Modelltypen AR (autoregressiv), MA (gleitender Durchschnitt) oder dem kombinierten ARMA-Modell genau modelliert werden. Im Allgemeinen ist der beste Typ unbekannt. Werden die drei Modelle jedoch mit geeigneten Methoden abgeschätzt, so kann in der Praxis ein einziges Zeitreihenmodell automatisch gewählt werden. Die Genauigkeit des Spektrums, berechnet aus diesem einzigen AR-MA Zeitreihenmodell, wird mit der Genauigkeit vieler verjüngter und fensterartiger Periodogrammschätzungen verglichen. Das Zeitreihenmodell ergibt typischerweise ein Spektrum, das besser ist als das beste aller Periodogramschätzungen. 1. wenn Modelle hoher Aufträge berücksichtigt werden. Für MA - und ARMA-Modelle war eine neue Entwicklung in der Zeitreihenanalyse erforderlich, um zuverlässige Schätzalgorithmen zu haben, die für alle Probengrößen -7,8,9,10- gut funktionieren. Das ist die Entdeckung der optimalen Länge des langen autoregressiven Zwischenmodells für Durbins-Methoden 7,8. Dieses lange AR-Modell wird verwendet, um die MA-Parameter zu bestimmen. Mit Schiebefenster. Von Piet M. T. Broersen, S. De Waele - IEEE Trans. Instrument Meas. 2000 Zusammenfassung Eine neue Methode zur Extraktion von Merkmalen aus stationären stochastischen Prozessen wurde auf ein medizinisches Erkennungsproblem angewendet. Es veranschaulicht eine praktische Anwendung der automatischen Zeitreihenmodellierung. Erstens sind der Modelltyp und die Modellreihenfolge für zwei Zeitreihen-Prototypmodelle se. Zusammenfassung Eine neue Methode zur Extraktion von Merkmalen aus stationären stochastischen Prozessen wurde auf ein medizinisches Erkennungsproblem angewendet. Es veranschaulicht eine praktische Anwendung der automatischen Zeitreihenmodellierung. Zuerst werden der Modelltyp und die Modellreihenfolge für zwei Zeitreihen-Prototypenmodelle ausgewählt. Die Prototypen stellen die Lungengeräusche eines einzelnen gesunden Subjekts vor und nach der Anwendung von Methacholin dar. Unter Verwendung des Modellfehlers ME als Maß für den Unterschied zwischen Zeitreihenmodellen können neue Daten in Klassen unterteilt werden, die zu den Prototypenmodellen für diese Person gehören. Die Prototypenmodelle werden aus wenigen Exspirationszyklen unter bekannten Bedingungen erhalten. Dies ist ausreichend, um die Anwesenheit von Methacholin in neuen Daten desselben Subjekts zu detektieren, wenn er in der Lage ist, stationäre Zustände zu halten, indem es genau dem vorgeschriebenen Atemmuster folgt. Es ist nicht notwendig, den gleichen Modelltyp und die gleiche Modellreihenfolge für die Prototypen und für neue Daten zu verwenden. Automatisch und individuell ausgewählte Modelle für Prototypen und Daten ermöglichen eine gute Detektion von Methacholin. Index TermsDetection, Modellfehler, Vorhersagefehler, Prototypmodell, Spektralschätzung. I nt basiert die Kombinierte Information Criterion CIC auf der Erwartung und auf der Varianz des Logarithmus der Restvarianz als Funktion der Modellreihenfolge 11. Die Durbins-Methode für MA-12- und für die ARMA 13-Schätzung besteht Der Verwendung der Parameter eines Langzeit-Autoregressionsmodells, um MA-Parameter zu berechnen. Auf diese Weise wird die nichtlineare Schätzung durch eine Sequenz approximiert. Von Jan S. Erkelens, Arturo Tejada, Arnold J. Den Dekker - IEEE-Transaktionen zur Instrumentierung und Messung. 2013. Zusammenfassung Drei wichtige parametrische Modelle zur Beschreibung der Korrelationsfunktionen und Spektren stationärer stochastischer Prozesse sind autoregressive (AR), Moving Average (MA) und autoregressive Moving Average (ARMA) Modelle. Vor kurzem wurde die MATLAB-Toolbox ARMASA öffentlich gemacht. Zusammenfassung Drei wichtige parametrische Modelle zur Beschreibung der Korrelationsfunktionen und Spektren stationärer stochastischer Prozesse sind autoregressive (AR), Moving Average (MA) und autoregressive Moving Average (ARMA) Modelle. Vor kurzem wurde die MATLAB-Toolbox ARMASA öffentlich zugänglich gemacht. Diese Toolbox bietet State-of-the-Art-Algorithmen zur automatischen Identifikation und Auswahl zwischen den Modellen auf der Grundlage der geschätzten Vorhersage Fehler durchzuführen. ARMASA arbeitet auf einem einzigen Segment von Daten, während in einigen Anwendungen die Daten als mehrere Segmente zur Verfügung stehen. Wir konnten jedes Segment unabhängig verarbeiten und die geschätzten Autokorrelationsfunktionen oder Spektren anschließend mitteln. Eine bessere Leistung kann jedoch erwartet werden, wenn alle Segmente gleichzeitig verarbeitet werden, und zwar aus zwei Gründen. Anfänglich hängt die Vorspannung in den geschätzten Modellparametern von der Anzahl der Beobachtungen in einem Segment ab. Mittelwertbildung ual Varianz für alle Modellreihen von Interesse. Die Residuen sind Schätzungen der Innovationen (n) in (1) und können durch Ersetzen der geschätzten Modellparameter gefunden werden. Details hierzu finden Sie in den Versionen 2, -19 und 20. Die Algorithmen für die AR-, MA - und ARMA-Modellidentifizierung, die in der ARMASA-Toolbox implementiert sind, werden nun skizziert. III. MODEL-IDENTIFIZIERUNG IN ARMASA A. AR Modellidentifikation Die Restmenge. Von Piet Broersen, Stijn De Waele. Ein Fenster - und Tapered-Periodogramm kann als Fourier-Transformation einer geschätzten Kovarianzfunktion von verjüngten Daten multipliziert mit einem Verzögerungsfenster berechnet werden. Kovarianzen von endlicher Länge können auch als gleitende (MA) Zeitreihenmodelle modelliert werden. Die direkte Äquivalenz zwischen Periodogrammen und MA. Ein Fenster - und Tapered-Periodogramm kann als Fourier-Transformation einer geschätzten Kovarianzfunktion von verjüngten Daten multipliziert mit einem Verzögerungsfenster berechnet werden. Kovarianzen von endlicher Länge können auch als gleitende (MA) Zeitreihenmodelle modelliert werden. Die direkte Äquivalenz zwischen Periodogrammen und MA-Modellen wird in der Momentenmethode für die MA-Schätzung gezeigt. Eine bessere MA-Repräsentation für die Kovarianz und die spektrale Dichte wird mit Durbinampaposs verbessert MA-Methode gefunden. Das nutzt die Parameter eines langen autoregressiven (AR) Modells, um MA-Modelle zu finden, gefolgt von der automatischen Auswahl des MA-Auftrags. Es wird ein Vergleich zwischen den beiden MA-Modelltypen durchgeführt. Das Beste aus vielen MA-Modellen aus fensterartigen Periodogrammen wird mit dem ausgewählten MA-Modell mit Durbinampaposs-Methode verglichen. Letzteres hat typischerweise eine bessere Qualität. Stichwörter: Spektralschätzung, Ordnungsauswahl, Spektralabstand, Spektralfenster, Spektralfehler 1. EINFÜHRUNG Zeitreihenanalyse oder parametrische Spektralschätzung. Ist die Darstellung der Kovarianz keine ausreichende Schätzung für die MA-Parameter. Es existiert ein robuster MA-Algorithmus, der das Modell direkt aus einem langen AR-Modell der Daten schätzt. Durbin039s Methode -6-- hat nie Probleme mit der Konvergenz. Sie schätzt immer invertierbare Modelle, indem sie die Parameter eines langen autoregressiven Modells in einem linearen MA-Schätzverfahren verwenden. Invertierbare Modelle haben alle Nullen. Moving durchschnittliche und exponentielle Glättungsmodelle Als ein erster Schritt, über jenseits von Mittelwerten, zufälligen Fußmodellen und linearen Trendmodellen hinauszugehen , Nicht saisonale Muster und Trends können mit einem gleitenden Durchschnitt oder Glättungsmodell extrapoliert werden. Die grundlegende Annahme hinter Mittelwertbildung und Glättungsmodellen ist, dass die Zeitreihe lokal stationär mit einem sich langsam verändernden Mittelwert ist. Daher nehmen wir einen bewegten (lokalen) Durchschnitt, um den aktuellen Wert des Mittelwerts abzuschätzen und dann als die Prognose für die nahe Zukunft zu verwenden. Dies kann als Kompromiss zwischen dem mittleren Modell und dem random-walk-ohne-Drift-Modell betrachtet werden. Die gleiche Strategie kann verwendet werden, um einen lokalen Trend abzuschätzen und zu extrapolieren. Ein gleitender Durchschnitt wird oft als "quotsmoothedquot" - Version der ursprünglichen Serie bezeichnet, da die kurzzeitige Mittelung die Wirkung hat, die Stöße in der ursprünglichen Reihe zu glätten. Durch Anpassen des Glättungsgrades (die Breite des gleitenden Durchschnitts) können wir hoffen, eine Art von optimaler Balance zwischen der Leistung des Mittelwerts und der zufälligen Wandermodelle zu erreichen. Die einfachste Art der Mittelung Modell ist die. Einfache (gleichgewichtige) Moving Average: Die Prognose für den Wert von Y zum Zeitpunkt t1, der zum Zeitpunkt t gemacht wird, entspricht dem einfachen Mittelwert der letzten m Beobachtungen: (Hier und anderswo werde ich das Symbol 8220Y-hat8221 stehen lassen Für eine Prognose der Zeitreihe Y, die am frühestmöglichen früheren Zeitpunkt durch ein gegebenes Modell durchgeführt wird.) Dieser Mittelwert wird in der Periode t (m1) / 2 zentriert, was bedeutet, daß die Schätzung des lokalen Mittels dazu tendiert, hinter dem Wert zu liegen Wahren Wert des lokalen Mittels um etwa (m1) / 2 Perioden. Das durchschnittliche Alter der Daten im einfachen gleitenden Durchschnitt ist also (m1) / 2 relativ zu der Periode, für die die Prognose berechnet wird: dies ist die Zeitspanne, in der die Prognosen dazu tendieren, hinter den Wendepunkten in der Daten. Wenn Sie z. B. die letzten 5 Werte mitteln, werden die Prognosen etwa 3 Perioden spät sein, wenn sie auf Wendepunkte reagieren. Beachten Sie, dass, wenn m1, die einfache gleitende Durchschnitt (SMA) - Modell ist gleichbedeutend mit der random walk-Modell (ohne Wachstum). Wenn m sehr groß ist (vergleichbar der Länge des Schätzzeitraums), entspricht das SMA-Modell dem mittleren Modell. Wie bei jedem Parameter eines Prognosemodells ist es üblich, den Wert von k anzupassen, um den besten Quotienten der Daten zu erhalten, d. H. Die kleinsten Prognosefehler im Durchschnitt. Hier ist ein Beispiel einer Reihe, die zufällige Fluktuationen um ein sich langsam veränderndes Mittel zu zeigen scheint. Erstens können wir versuchen, es mit einem zufälligen Fußmodell, das entspricht einem einfachen gleitenden Durchschnitt von 1 Begriff entspricht: Das zufällige Fußmodell reagiert sehr schnell auf Änderungen in der Serie, aber dabei nimmt er viel von der quotnoisequot in der Daten (die zufälligen Fluktuationen) sowie das Quotsignalquot (das lokale Mittel). Wenn wir stattdessen einen einfachen gleitenden Durchschnitt von 5 Begriffen anwenden, erhalten wir einen glatteren Satz von Prognosen: Der 5-Term-einfache gleitende Durchschnitt liefert in diesem Fall deutlich kleinere Fehler als das zufällige Wegmodell. Das durchschnittliche Alter der Daten in dieser Prognose beträgt 3 ((51) / 2), so dass es dazu neigt, hinter den Wendepunkten um etwa drei Perioden zu liegen. (Zum Beispiel scheint ein Abschwung in Periode 21 aufgetreten zu sein, aber die Prognosen drehen sich erst nach mehreren Perioden später.) Beachten Sie, dass die Langzeitprognosen des SMA-Modells eine horizontale Gerade sind, genau wie beim zufälligen Weg Modell. Somit geht das SMA-Modell davon aus, dass es keinen Trend in den Daten gibt. Während jedoch die Prognosen aus dem Zufallswegmodell einfach dem letzten beobachteten Wert entsprechen, sind die Prognosen des SMA-Modells gleich einem gewichteten Mittelwert der neueren Werte. Die von Statgraphics berechneten Konfidenzgrenzen für die Langzeitprognosen des einfachen gleitenden Durchschnitts werden nicht breiter, wenn der Prognosehorizont zunimmt. Dies ist offensichtlich nicht richtig Leider gibt es keine zugrunde liegende statistische Theorie, die uns sagt, wie sich die Vertrauensintervalle für dieses Modell erweitern sollten. Allerdings ist es nicht zu schwer, empirische Schätzungen der Konfidenzgrenzen für die längerfristigen Prognosen zu berechnen. Beispielsweise können Sie eine Tabellenkalkulation einrichten, in der das SMA-Modell für die Vorhersage von 2 Schritten im Voraus, 3 Schritten voraus usw. innerhalb der historischen Datenprobe verwendet wird. Sie könnten dann die Stichproben-Standardabweichungen der Fehler bei jedem Prognosehorizont berechnen und dann Konfidenzintervalle für längerfristige Prognosen durch Addieren und Subtrahieren von Vielfachen der geeigneten Standardabweichung konstruieren. Wenn wir einen 9-term einfachen gleitenden Durchschnitt ausprobieren, erhalten wir sogar noch bessere Prognosen und mehr eine nacheilende Wirkung: Das Durchschnittsalter beträgt jetzt 5 Perioden ((91) / 2). Wenn wir einen 19-term gleitenden Durchschnitt nehmen, steigt das Durchschnittsalter auf 10 an: Beachten Sie, dass die Prognosen tatsächlich hinter den Wendepunkten um etwa 10 Perioden zurückbleiben. Welches Maß an Glättung ist am besten für diese Serie Hier ist eine Tabelle, die ihre Fehlerstatistiken vergleicht, darunter auch einen 3-Term-Durchschnitt: Modell C, der 5-term gleitende Durchschnitt, ergibt den niedrigsten Wert von RMSE mit einer kleinen Marge über die 3 - term und 9-Term-Mittelwerte, und ihre anderen Statistiken sind fast identisch. So können wir bei Modellen mit sehr ähnlichen Fehlerstatistiken wählen, ob wir ein wenig mehr Reaktionsfähigkeit oder ein wenig mehr Glätte in den Prognosen bevorzugen würden. (Rückkehr nach oben.) Browns Einfache Exponentialglättung (exponentiell gewichteter gleitender Durchschnitt) Das oben beschriebene einfache gleitende Durchschnittsmodell hat die unerwünschte Eigenschaft, daß es die letzten k-Beobachtungen gleich und vollständig ignoriert. Intuitiv sollten vergangene Daten in einer allmählicheren Weise diskontiert werden - zum Beispiel sollte die jüngste Beobachtung ein wenig mehr Gewicht als die zweitletzte erhalten, und die 2. jüngsten sollten ein wenig mehr Gewicht als die 3. jüngsten erhalten, und bald. Das einfache exponentielle Glättungsmodell (SES) erfüllt dies. 945 bezeichnen eine quotsmoothing constantquot (eine Zahl zwischen 0 und 1). Eine Möglichkeit, das Modell zu schreiben, besteht darin, eine Serie L zu definieren, die den gegenwärtigen Pegel (d. H. Den lokalen Mittelwert) der Serie, wie er aus Daten bis zu der Zeit geschätzt wird, darstellt. Der Wert von L zur Zeit t wird rekursiv von seinem eigenen vorherigen Wert wie folgt berechnet: Somit ist der aktuelle geglättete Wert eine Interpolation zwischen dem vorher geglätteten Wert und der aktuellen Beobachtung, wobei 945 die Nähe des interpolierten Wertes auf die neueste steuert Überwachung. Die Prognose für die nächste Periode ist einfach der aktuelle geglättete Wert: Äquivalent können wir die nächste Prognose direkt in Form früherer Prognosen und früherer Beobachtungen in einer der folgenden gleichwertigen Versionen ausdrücken. In der ersten Version ist die Prognose eine Interpolation zwischen vorheriger Prognose und vorheriger Beobachtung: In der zweiten Version wird die nächste Prognose durch Anpassung der bisherigen Prognose in Richtung des bisherigen Fehlers um einen Bruchteil 945 erhalten Zeit t. In der dritten Version ist die Prognose ein exponentiell gewichteter (dh diskontierter) gleitender Durchschnitt mit Abzinsungsfaktor 1-945: Die Interpolationsversion der Prognoseformel ist am einfachsten zu verwenden, wenn Sie das Modell in einer Tabellenkalkulation implementieren Einzelne Zelle und enthält Zellverweise, die auf die vorhergehende Prognose, die vorherige Beobachtung und die Zelle mit dem Wert von 945 zeigen. Beachten Sie, dass, wenn 945 1, das SES-Modell zu einem zufälligen Weg-Modell (ohne Wachstum) äquivalent ist. Wenn 945 0 ist, entspricht das SES-Modell dem mittleren Modell, wobei angenommen wird, dass der erste geglättete Wert gleich dem Mittelwert gesetzt ist. (Zurück zum Seitenanfang) Das Durchschnittsalter der Daten in der Simple-Exponential-Glättungsprognose beträgt 1/945 relativ zu dem Zeitraum, für den die Prognose berechnet wird. (Dies sollte nicht offensichtlich sein, kann aber leicht durch die Auswertung einer unendlichen Reihe gezeigt werden.) Die einfache gleitende Durchschnittsprognose neigt daher zu Verzögerungen hinter den Wendepunkten um etwa 1/945 Perioden. Wenn beispielsweise 945 0,5 die Verzögerung 2 Perioden beträgt, wenn 945 0,2 die Verzögerung 5 Perioden beträgt, wenn 945 0,1 die Verzögerung 10 Perioden und so weiter ist. Für ein gegebenes Durchschnittsalter (d. H. Eine Verzögerung) ist die einfache exponentielle Glättung (SES) - Prognose der simplen gleitenden Durchschnittsprognose (SMA) etwas überlegen, weil sie relativ viel mehr Gewicht auf die jüngste Beobachtung - i. e stellt. Es ist etwas mehr quresponsivequot zu Änderungen, die sich in der jüngsten Vergangenheit. Zum Beispiel haben ein SMA - Modell mit 9 Terminen und ein SES - Modell mit 945 0,2 beide ein durchschnittliches Alter von 5 Jahren für die Daten in ihren Prognosen, aber das SES - Modell legt mehr Gewicht auf die letzten 3 Werte als das SMA - Modell und am Gleiches gilt für die Werte von mehr als 9 Perioden, wie in dieser Tabelle gezeigt: 822forget8221. Ein weiterer wichtiger Vorteil des SES-Modells gegenüber dem SMA-Modell ist, dass das SES-Modell einen Glättungsparameter verwendet, der kontinuierlich variabel ist und somit leicht optimiert werden kann Indem ein Quotsolverquot-Algorithmus verwendet wird, um den mittleren quadratischen Fehler zu minimieren. Der optimale Wert von 945 im SES-Modell für diese Serie ergibt sich wie folgt: Das Durchschnittsalter der Daten in dieser Prognose beträgt 1 / 0,2961 3,4 Perioden, was ähnlich wie bei einem 6-Term-Simple Moving ist durchschnittlich. Die Langzeitprognosen aus dem SES-Modell sind eine horizontale Gerade. Wie im SMA-Modell und dem Random-Walk-Modell ohne Wachstum. Es ist jedoch anzumerken, dass die von Statgraphics berechneten Konfidenzintervalle nun in einer vernünftigen Weise abweichen und dass sie wesentlich schmaler sind als die Konfidenzintervalle für das Zufallswegmodell. Das SES-Modell geht davon aus, dass die Reihe etwas vorhersehbarer ist als das Zufallswandermodell. Ein SES-Modell ist eigentlich ein Spezialfall eines ARIMA-Modells. So dass die statistische Theorie der ARIMA-Modelle eine solide Grundlage für die Berechnung der Konfidenzintervalle für das SES-Modell bildet. Insbesondere ist ein SES-Modell ein ARIMA-Modell mit einer nicht sonderbaren Differenz, einem MA (1) - Term und kein konstanter Term. Ansonsten als quotARIMA (0,1,1) - Modell ohne Konstantquot bekannt. Der MA (1) - Koeffizient im ARIMA-Modell entspricht der Größe 1 - 945 im SES-Modell. Wenn Sie zum Beispiel ein ARIMA-Modell (0,1,1) ohne Konstante an die hier analysierte Serie anpassen, ergibt sich der geschätzte MA (1) - Koeffizient auf 0,7029, was fast genau ein Minus von 0,2961 ist. Es ist möglich, die Annahme eines von Null verschiedenen konstanten linearen Trends zu einem SES-Modell hinzuzufügen. Dazu wird ein ARIMA-Modell mit einer nicht sonderbaren Differenz und einem MA (1) - Term mit konstantem, d. H. Einem ARIMA-Modell (0,1,1) mit konstantem Wert angegeben. Die langfristigen Prognosen haben dann einen Trend, der dem durchschnittlichen Trend über den gesamten Schätzungszeitraum entspricht. Sie können dies nicht in Verbindung mit saisonalen Anpassungen tun, da die saisonalen Anpassungsoptionen deaktiviert sind, wenn der Modelltyp auf ARIMA gesetzt ist. Sie können jedoch einen konstanten langfristigen exponentiellen Trend zu einem einfachen exponentiellen Glättungsmodell (mit oder ohne saisonale Anpassung) hinzufügen, indem Sie die Inflationsanpassungsoption im Prognoseverfahren verwenden. Die prozentuale Zinssatzquote (prozentuale Wachstumsrate) pro Periode kann als der Steigungskoeffizient in einem linearen Trendmodell geschätzt werden, das an die Daten in Verbindung mit einer natürlichen Logarithmuswandlung angepasst ist, oder es kann auf anderen unabhängigen Informationen bezüglich der langfristigen Wachstumsperspektiven beruhen . (Rückkehr nach oben.) Browns Linear (dh doppelt) Exponentielle Glättung Die SMA-Modelle und SES-Modelle gehen davon aus, dass es in den Daten keinen Trend gibt (was in der Regel in Ordnung ist oder zumindest nicht zu schlecht für 1- Wenn die Daten relativ verrauscht sind), und sie können modifiziert werden, um einen konstanten linearen Trend, wie oben gezeigt, zu integrieren. Was ist mit kurzfristigen Trends Wenn eine Serie eine unterschiedliche Wachstumsrate oder ein zyklisches Muster zeigt, das sich deutlich gegen das Rauschen auszeichnet, und wenn es notwendig ist, mehr als eine Periode vorher zu prognostizieren, könnte die Schätzung eines lokalen Trends auch sein Ein Problem. Das einfache exponentielle Glättungsmodell kann verallgemeinert werden, um ein lineares exponentielles Glättungsmodell (LES) zu erhalten, das lokale Schätzungen sowohl des Niveaus als auch des Trends berechnet. Das einfachste zeitvariable Trendmodell ist Browns lineares exponentielles Glättungsmodell, das zwei verschiedene geglättete Serien verwendet, die zu verschiedenen Zeitpunkten zentriert sind. Die Prognoseformel basiert auf einer Extrapolation einer Linie durch die beiden Zentren. (Eine weiterentwickelte Version dieses Modells, Holt8217s, wird unten diskutiert.) Die algebraische Form des Brown8217s linearen exponentiellen Glättungsmodells, wie die des einfachen exponentiellen Glättungsmodells, kann in einer Anzahl von unterschiedlichen, aber äquivalenten Formen ausgedrückt werden. Die quadratische quadratische Form dieses Modells wird gewöhnlich wie folgt ausgedrückt: Sei S die einfach geglättete Reihe, die durch Anwendung einfacher exponentieller Glättung auf Reihe Y erhalten wird. Das heißt, der Wert von S in der Periode t ist gegeben durch: (Erinnern wir uns, Exponentielle Glättung, so würde dies die Prognose für Y in der Periode t1 sein.) Dann sei Squot die doppelt geglättete Folge, die man erhält, indem man eine einfache exponentielle Glättung (unter Verwendung desselben 945) auf die Reihe S anwendet: Schließlich die Prognose für Ytk. Für jedes kgt1 ist gegeben durch: Dies ergibt e & sub1; & sub0; (d. h. Cheat ein Bit und die erste Prognose der tatsächlichen ersten Beobachtung gleich) und e & sub2; Y & sub2; 8211 Y & sub1; Nach denen die Prognosen unter Verwendung der obigen Gleichung erzeugt werden. Dies ergibt die gleichen Anpassungswerte wie die Formel auf der Basis von S und S, wenn diese mit S 1 S 1 Y 1 gestartet wurden. Diese Version des Modells wird auf der nächsten Seite verwendet, die eine Kombination von exponentieller Glättung mit saisonaler Anpassung veranschaulicht. Holt8217s Lineare Exponentialglättung Brown8217s LES-Modell berechnet lokale Schätzungen von Pegel und Trend durch Glätten der letzten Daten, aber die Tatsache, dass dies mit einem einzigen Glättungsparameter erfolgt, legt eine Einschränkung für die Datenmuster fest, die sie anpassen kann: den Pegel und den Trend Dürfen nicht zu unabhängigen Preisen variieren. Holt8217s LES-Modell adressiert dieses Problem durch zwei Glättungskonstanten, eine für die Ebene und eine für den Trend. Zu jedem Zeitpunkt t, wie in Brown8217s-Modell, gibt es eine Schätzung L t der lokalen Ebene und eine Schätzung T t der lokalen Trend. Hier werden sie rekursiv aus dem zum Zeitpunkt t beobachteten Wert von Y und den vorherigen Schätzungen von Pegel und Trend durch zwei Gleichungen berechnet, die exponentielle Glättung separat anwenden. Wenn der geschätzte Pegel und der Trend zum Zeitpunkt t-1 L t82091 und T t-1 sind. Dann ist die Prognose für Y tshy, die zum Zeitpunkt t-1 gemacht worden wäre, gleich L t-1 T t-1. Wenn der tatsächliche Wert beobachtet wird, wird die aktualisierte Schätzung des Pegels rekursiv berechnet, indem zwischen Y tshy und seiner Prognose L t-1 T t-1 unter Verwendung von Gewichten von 945 und 1- 945 interpoliert wird. Die Änderung des geschätzten Pegels, Nämlich L t 8209 L t82091. Kann als eine verrauschte Messung des Trends zum Zeitpunkt t interpretiert werden. Die aktualisierte Schätzung des Trends wird dann rekursiv berechnet, indem zwischen L t 8209 L t82091 und der vorherigen Schätzung des Trends T t-1 interpoliert wird. Unter Verwendung der Gewichte von 946 und 1-946: Die Interpretation der Trendglättungskonstanten 946 ist analog zu der Pegelglättungskonstante 945. Modelle mit kleinen Werten von 946 nehmen an, dass sich der Trend mit der Zeit nur sehr langsam ändert, während Modelle mit Größere 946 nehmen an, dass sie sich schneller ändert. Ein Modell mit einem großen 946 glaubt, dass die ferne Zukunft sehr unsicher ist, da Fehler in der Trendschätzung bei der Prognose von mehr als einer Periode ganz wichtig werden. (Rückkehr nach oben) Die Glättungskonstanten 945 und 946 können auf übliche Weise geschätzt werden, indem der mittlere quadratische Fehler der 1-Schritt-Voraus-Prognosen minimiert wird. Wenn dies in Statgraphics getan wird, erweisen sich die Schätzungen als 945 0.3048 und 946 0,008. Der sehr geringe Wert von 946 bedeutet, dass das Modell eine sehr geringe Veränderung im Trend von einer Periode zur nächsten annimmt, so dass dieses Modell im Grunde versucht, einen langfristigen Trend abzuschätzen. In Analogie zum Durchschnittsalter der Daten, die für die Schätzung der lokalen Ebene der Serie verwendet werden, ist das Durchschnittsalter der Daten, die bei der Schätzung des lokalen Trends verwendet werden, proportional zu 1/946, wenn auch nicht exakt gleich es. In diesem Fall ergibt sich 1 / 0,006 125. Dies ist eine sehr genaue Zahl, da die Genauigkeit der Schätzung von 946 nicht wirklich 3 Dezimalstellen beträgt, sondern sie ist von der gleichen Größenordnung wie die Stichprobengröße von 100 , So dass dieses Modell ist im Durchschnitt über eine ganze Menge Geschichte bei der Schätzung der Trend. Das Prognose-Diagramm unten zeigt, dass das LES-Modell einen etwas größeren lokalen Trend am Ende der Serie schätzt als der im SEStrend-Modell geschätzte konstante Trend. Außerdem ist der Schätzwert von 945 fast identisch mit dem, der durch Anpassen des SES-Modells mit oder ohne Trend erhalten wird, so dass dies fast das gleiche Modell ist. Nun, sehen diese aussehen wie vernünftige Prognosen für ein Modell, das soll Schätzung einer lokalen Tendenz Wenn Sie 8220eyeball8221 dieser Handlung, sieht es so aus, als ob der lokale Trend nach unten am Ende der Serie gedreht hat Was ist passiert Die Parameter dieses Modells Wurden durch Minimierung des quadratischen Fehlers von 1-Schritt-Voraus-Prognosen, nicht längerfristigen Prognosen, abgeschätzt, wobei der Trend keinen großen Unterschied macht. Wenn alles, was Sie suchen, 1-Schritt-vor-Fehler sind, sehen Sie nicht das größere Bild der Trends über (sagen) 10 oder 20 Perioden. Um dieses Modell im Einklang mit unserer Augapfel-Extrapolation der Daten zu erhalten, können wir die Trendglättungskonstante manuell anpassen, so dass sie eine kürzere Basislinie für die Trendschätzung verwendet. Wenn wir beispielsweise 946 0,1 setzen, beträgt das durchschnittliche Alter der Daten, die bei der Schätzung des lokalen Trends verwendet werden, 10 Perioden, was bedeutet, dass wir den Trend über die letzten 20 Perioden oder so mitteln. Here8217s, was das Prognose-Plot aussieht, wenn wir 946 0,1 setzen, während 945 0,3 halten. Dies scheint intuitiv vernünftig für diese Serie, obwohl es wahrscheinlich gefährlich, diesen Trend mehr als 10 Perioden in der Zukunft zu extrapolieren. Was ist mit den Fehlerstatistiken Hier ist ein Modellvergleich für die beiden oben gezeigten Modelle sowie drei SES-Modelle. Der optimale Wert von 945 für das SES-Modell beträgt etwa 0,3, aber ähnliche Ergebnisse (mit etwas mehr oder weniger Reaktionsfähigkeit) werden mit 0,5 und 0,2 erhalten. (A) Holts linearer Exp. Glättung mit alpha 0.3048 und beta 0,008 (B) Holts linear exp. Glättung mit alpha 0,3 (E) Einfache exponentielle Glättung mit alpha 0,3 (E) Einfache exponentielle Glättung mit alpha 0,2 Ihre Stats sind nahezu identisch, so dass wir wirklich die Wahl auf der Basis machen können Von 1-Schritt-Vorhersagefehlern innerhalb der Datenprobe. Wir müssen auf andere Überlegungen zurückgreifen. Wenn wir glauben, dass es sinnvoll ist, die aktuelle Trendschätzung auf das, was in den letzten 20 Perioden passiert ist, zugrunde zu legen, können wir für das LES-Modell mit 945 0,3 und 946 0,1 einen Fall machen. Wenn wir agnostisch sein wollen, ob es einen lokalen Trend gibt, dann könnte eines der SES-Modelle leichter zu erklären sein, und würde auch für die nächsten 5 oder 10 Perioden mehr Mittelprognosen geben. (Rückkehr nach oben.) Welche Art von Trend-Extrapolation am besten ist: horizontal oder linear Empirische Evidenz deutet darauf hin, dass es, wenn die Daten bereits für die Inflation angepasst wurden (wenn nötig), unprätent ist, kurzfristige linear zu extrapolieren Trends sehr weit in die Zukunft. Die heutigen Trends können sich in Zukunft aufgrund unterschiedlicher Ursachen wie Produktveralterung, verstärkte Konkurrenz und konjunkturelle Abschwünge oder Aufschwünge in einer Branche abschwächen. Aus diesem Grund führt eine einfache exponentielle Glättung oft zu einer besseren Out-of-Probe, als ansonsten zu erwarten war, trotz ihrer quotnaivequot horizontalen Trend-Extrapolation. Damped Trendmodifikationen des linearen exponentiellen Glättungsmodells werden in der Praxis häufig auch eingesetzt, um in seinen Trendprojektionen eine Note des Konservatismus einzuführen. Das Dämpfungs-Trend-LES-Modell kann als Spezialfall eines ARIMA-Modells, insbesondere eines ARIMA-Modells (1,1,2), implementiert werden. Es ist möglich, Konfidenzintervalle um langfristige Prognosen zu berechnen, die durch exponentielle Glättungsmodelle erzeugt werden, indem man sie als Spezialfälle von ARIMA-Modellen betrachtet. (Achtung: Nicht alle Software berechnet die Konfidenzintervalle für diese Modelle korrekt.) Die Breite der Konfidenzintervalle hängt ab von (i) dem RMS-Fehler des Modells, (ii) der Art der Glättung (einfach oder linear) (iii) dem Wert (S) der Glättungskonstante (n) und (iv) die Anzahl der Perioden vor der Prognose. Im Allgemeinen breiten sich die Intervalle schneller aus, da 945 im SES-Modell größer wird und sich viel schneller ausbreiten, wenn lineare statt einfache Glättung verwendet wird. Dieses Thema wird im Abschnitt "ARIMA-Modelle" weiter erläutert. (Zurück zum Seitenanfang.)