12.1: Schätzen der spektralen Dichte Wir haben zuvor das Periodogramm, eine Funktion / Grafik, die Informationen über die periodischen Komponenten einer Zeitreihe anzeigt, diskutiert. Jede Zeitreihe kann als Summe von Kosinus - und Sinuswellen ausgedrückt werden, die bei den fundamentalen (harmonischen) Frequenzen j / n oszillieren. Mit j 1, 2,, n / 2. Das Periodogramm gibt Auskunft über die relativen Stärken der verschiedenen Frequenzen zur Erklärung der Variation in den Zeitreihen. Das Periodogramm ist eine Beispielschätzung einer Populationsfunktion, die als Spektraldichte bezeichnet wird, die eine Frequenzdomänencharakterisierung einer stationären Zeitreihe darstellt. Die Spektraldichte ist eine Frequenzbereichsdarstellung einer Zeitreihe, die direkt mit der Autokovarianzzeitbereichsdarstellung zusammenhängt. Im Wesentlichen enthalten die spektrale Dichte und die Autokovarianz-Funktion die gleichen Informationen, aber drücken sie auf unterschiedliche Weise aus. Bewertungshinweis. Die Autokovarianz ist der Zähler der Autokorrelation. Die Autokorrelation ist die Autokovarianz geteilt durch die Varianz. Nehmen wir an, dass (h) die Autokovarianzfunktion eines stationären Prozesses ist und dass f () die spektrale Dichte für denselben Prozess ist. In der Notation des vorherigen Satzes h Zeitverzögerung und Frequenz. Die Autokovarianz und die spektrale Dichte haben folgende Beziehungen: In der Sprache des fortgeschrittenen Kalküls sind die Autokovarianz und die spektrale Dichte Fourier-Transformationspaare. Wir kümmern uns nicht um das Kalkül der Situation. Nun konzentrieren sich auf die Schätzung der spektralen Dichte der Frequenzbereich Charakterisierung einer Serie. Die Fourier-Transformationsgleichungen sind hier nur gegeben, um festzustellen, dass es eine direkte Verbindung zwischen der Zeitbereichsdarstellung und der Frequenzbereichsdarstellung einer Reihe gibt. Mathematisch ist die spektrale Dichte für negative und positive Frequenzen definiert. Aufgrund der Symmetrie der Funktion und ihres sich wiederholenden Musters für Frequenzen außerhalb des Bereichs -1/2 bis 1/2 müssen wir uns jedoch nur mit Frequenzen zwischen 0 und 1/2 befassen. Die gesamte integrierte Spektraldichte entspricht der Varianz der Serie. Somit kann die spektrale Dichte innerhalb eines bestimmten Intervalls von Frequenzen als die Menge der Varianz angesehen werden, die durch diese Frequenzen erklärt wird. Methoden zur Schätzung der spektralen Dichte Das Rohperiodogramm ist eine grobe Stichprobe der Populations-Spektraldichte. Die Schätzung ist grob, zum Teil, weil wir nur die diskreten fundamentalen harmonischen Frequenzen für das Periodogramm verwenden, während die spektrale Dichte über ein Kontinuum von Frequenzen definiert ist. Eine mögliche Verbesserung der Periodogrammabschätzung der spektralen Dichte besteht darin, sie durch zentrierte Bewegungsdurchschnitte zu glätten. Eine zusätzliche Glättung kann durch Verjüngungsverfahren erzeugt werden, die die Enden (in der Zeit) der Reihe weniger als die Mitte der Daten gewichten. Nun nicht abdecken Tapering in dieser Lektion. Interessierte Parteien können Abschnitt 4.5 im Buch und verschiedene Internetquellen sehen. Ein alternativer Ansatz zur Glättung des Periodogramms ist ein parametrischer Schätzansatz, der auf der Tatsache beruht, dass jede stationäre Zeitreihe durch ein AR-Modell irgendeiner Ordnung angenähert werden kann (obwohl es eine hohe Ordnung sein könnte). Bei diesem Ansatz wird ein geeignetes AR-Modell gefunden, und dann wird die spektrale Dichte als Spektraldichte für dieses geschätzte AR-Modell geschätzt. Glättungsmethode (Nichtparametrische Schätzung der spektralen Dichte) Die übliche Methode zur Glättung eines Periodogramms hat einen so ausgefallenen Namen, dass es schwierig klingt. In der Tat, seine nur eine zentrierte gleitende durchschnittliche Prozedur mit ein paar mögliche Modifikationen. Für eine Zeitreihe ist der Daniell-Kern mit dem Parameter m ein zentrierter gleitender Durchschnitt, der einen geglätteten Wert zum Zeitpunkt t erzeugt, indem alle Werte zwischen den Zeitpunkten t m und t m (einschließlich) gemittelt werden. Zum Beispiel ist die Glättungsformel für einen Daniell-Kern mit m 2 In R können die Gewichtungskoeffizienten für einen Daniell-Kernel mit m 2 mit dem Befehl kernel (daniell, 2) erzeugt werden. Das Ergebnis ist coef-2 0,2 coef-1 0,2 coef 0,2 coef 1 0,2 coef 2 0,2 Die Indizes für coef beziehen sich auf die Zeitdifferenz von der Mitte des Mittelwerts zum Zeitpunkt t. Somit ist die Glättungsformel in diesem Fall die gleiche wie die oben angegebene Formel. Der modifizierte Daniell-Kernel ist so, daß die beiden Endpunkte bei der Mittelung die Hälfte des Gewichts erhalten, das die inneren Punkte haben. Bei einem modifizierten Daniell-Kernel mit m 2 ist die Glättung In R, der Befehlskern (modifiziert. daniell, 2) listet die gerade benutzten Gewichtungskoeffizienten auf. Entweder kann der Daniell-Kernel oder der modifizierte Daniell-Kernel (wiederholt) gefaltet werden, so dass die Glättung wieder auf die geglätteten Werte angewandt wird. Dies erzeugt eine umfangreichere Glättung durch Mittelung über ein breiteres Zeitintervall. Um beispielsweise einen Daniell-Kernel mit m 2 auf den geglätteten Werten zu wiederholen, die aus einem Daniell-Kern mit m 2 resultierten, wäre die Formel Dies ist der Durchschnitt der geglätteten Werte innerhalb zweier Zeitabschnitte t. In beide Richtungen. In R liefert der Befehl kernel (daniell, c (2,2)) die Koeffizienten, die als Gewichte bei der Mittelung der ursprünglichen Datenwerte für einen gewellten Daniell-Kernel mit m 2 in beiden Glättungen angewendet würden. Das Ergebnis ist gt kernel (daniell, c (2,2)) coef-4 0,04 coef-3 0,08 coef-2 0,12 coef-1 0,16 coef 0,20 coef 1 0,16 coef 2 0,12 coef 3 0,08 coef 4 0,04 Dies erzeugt die Glättung Formel Eine Faltung des modifizierten Verfahrens, bei der die Endpunkte ein geringeres Gewicht aufweisen, ist ebenfalls möglich. Der Befehl kernel (modifiziert daniell, c (2,2)) liefert diese Koeffizienten: coef-4 0,01797 coef-3 0,06250 coef-2 0,16750 coef & sub2; Damit werden die Mittelwerte etwas stärker gewichtet als im unmodifizierten Daniell-Kern. Wenn wir ein Periodogramm glätten, glätten wir über ein Frequenzintervall und nicht über ein Zeitintervall. Denken Sie daran, dass das Periodogramm bei den Grundfrequenzen j j / n für j 1, 2,, n / 2 bestimmt wird. Es sei I (j) der Periodogrammwert bei der Frequenz j j / n. Bei Verwendung eines Daniell-Kernels mit Parameter m zum Glätten eines Periodogramms ist der geglättete Wert (Hut (omegaj)) ein gewichteter Durchschnitt von Periodogrammwerten für Frequenzen im Bereich (j-m) / n bis (jm) / n. Es gibt L 2 m 1 Grundfrequenzwerte im Bereich (j-m) / n bis (jm) / n. Der Wertebereich für die Glättung. Die Bandbreite für das geglättete Periodogramm ist definiert als Die Bandbreite ist ein Maß für die Breite des Frequenzintervalls, das zum Glätten des Periodogramms verwendet wird. Wenn ungleiche Gewichte in der Glättung verwendet werden, wird die Bandbreitendefinition modifiziert. Bezeichnen Sie den geglätteten Periodogrammwert bei j j / n als Hut (omegaj) sum hk I left (omegaj frac right). Die h k sind die möglicherweise ungleichen Gewichte, die bei der Glättung verwendet werden. Die Bandbreitenformel wird dann geändert. Tatsächlich arbeitet diese Formel für gleiche Gewichte. Die Bandbreite sollte ausreichen, um unsere Schätzung, aber wenn wir eine Bandbreite, die zu groß ist, gut glätten das Periodogramm zu viel und verpassen sehen wichtige Spitzen. In der Praxis dauert es gewöhnlich einige Experimente, um die Bandbreite zu finden, die eine geeignete Glättung ergibt. Die Bandbreite wird überwiegend durch die Anzahl der Werte gesteuert, die bei der Glättung gemittelt werden. Mit anderen Worten, der m-Parameter für den Daniell-Kernel und die Faltung des Kernels (wiederholt) beeinflussen die Bandbreite. Hinweis: Die R-Berichte mit ihren Diagrammen entsprechen nicht den Werten, die mit den obigen Formeln berechnet werden. Siehe die Fußnote auf p. 197 Ihres Textes für eine Erklärung. Die Mittelung / Glättung des Periodogramms mit einem Daniell-Kernel kann in R mit einer Folge von zwei Befehlen erfolgen. Der erste definiert einen Daniell-Kern und der zweite erzeugt das geglättete Periodogramm. Als Beispiel sei angenommen, dass die beobachtete Reihe x heißt und wir das Periodogramm mit einem Daniell-Kernel mit m 4 glätten wollen. Die Befehle sind k kernel (daniell, 4) spec. pgram (x, k, taper0, log no) Der erste Befehl erzeugt die für die Glättung benötigten Gewichtungskoeffizienten und speichert sie in einem Vektor mit dem Namen k. (Sein beliebiges, um es zu nennen. Es könnte alles genannt werden.) Der zweite Befehl fragt nach einer spektralen Dichteabschätzung, die auf dem Periodogramm für die Reihe x basiert. Wobei die in k gespeicherten Gewichtungskoeffizienten ohne Verjüngung verwendet werden, und die Auftragung erfolgt auf einer gewöhnlichen Skala, nicht auf einer logarithmischen Skala. Wenn eine Konvolution erwünscht ist, könnte der Kernel-Befehl zu etwas wie k kernel (daniell, c (4,4)) modifiziert werden. Es gibt zwei Möglichkeiten, einen modifizierten Daniell-Kernel zu erreichen. Sie können entweder den Kernel-Befehl ändern, um auf den modifizierten. daniell anstatt daniell zu verweisen, oder Sie können mit dem Kernel-Befehl überspringen und einen spans-Parameter im Befehl spec. pgram verwenden. Der spans-Parameter gibt die Länge (2 m 1) des gewünschten modifizierten Daniell-Kerns an. Zum Beispiel hat ein modifizierter Daniell-Kernel mit m 4 die Länge L 2 m 1 9, so dass wir den Befehl spec. pgram (x, spans9, taper 0, logno) verwenden können. Zwei Durchläufe eines modifizierten Daniell-Kernels mit m 4 auf jedem Durchgang Kann mit spec. pgram (x, spansc (9,9), taper 0, logno) durchgeführt werden. Dieses Beispiel verwendet die Fischrekrutierungsreihe, die an mehreren Stellen im Text verwendet wird, einschließlich mehrerer Stellen in Kapitel 4. Die Serie besteht aus n 453 monatlichen Werten eines Maßes einer Fischpopulation in einer südlichen Hemisphäre. Die Daten befinden sich in der Datei recruit. dat. Das rohe Periodogramm kann mit dem Befehl erstellt werden (oder es kann mit der in Lektion 6 angegebenen Methode erstellt werden). Spec. pgram (x, taper0, logno) Beachten Sie, dass wir in dem gerade gegebenen Befehl den Parameter ausgelassen haben, der Gewichte für die Glättung ergibt. Das Roh-Periodogramm folgt: Der nächste Plot ist ein geglättetes Periodogramm unter Verwendung eines Daniell-Kerns mit m 4. Man beachte, daß ein Effekt der Glättung ist, daß der dominierende Peak in der nicht geglätteten Version nun der zweithöchste Peak ist. Dies geschah, weil die Spitze in der ungeglätteten Version so scharf definiert ist, daß, wenn wir sie mit einigen umgebenden Werten berechnen, die Höhe verringert wird. Die nächste Auftragung ist ein geglättetes Periodogramm mit zwei Durchgängen eines Daniell-Kerns mit m 4 auf jedem Durchgang. Beachten Sie, wie es noch mehr geglättet wird als zuvor. Um zu ermitteln, wo sich die beiden dominanten Peaks befinden, weisen Sie der spec. pgram-Ausgabe einen Namen zu, und dann können Sie sie auflisten. Beispiel: specvalues spec. pgram (x, k, taper0, logno) specvalues Sie können die Ausgabe durchsehen, um die Frequenzen zu finden, bei denen die Peaks auftreten. Die Frequenzen und die spektralen Dichteabschätzungen sind getrennt aufgeführt, jedoch in derselben Reihenfolge. Identifizieren Sie die maximalen spektralen Dichten und finden Sie dann die entsprechenden Frequenzen. Hier liegt der erste Peak bei einer Frequenz von 0,229. Der Zeitraum (Anzahl der Monate) im Zusammenhang mit diesem Zyklus 1 / .0229 43,7 Monate oder etwa 44 Monate. Der zweite Peak tritt bei einer Frequenz von 0,083333 auf. Der zugehörige Zeitraum 1 / .08333 12 Monate. Der erste Peak ist mit einem El Nino Wettereffekt verbunden. Die zweite ist die üblichen 12 Monate saisonale Wirkung. Diese beiden Befehle werden vertikale gestrichelte Linien auf die (geschätzte) Spektraldichte auf den ungefähren Stellen der Peakdichten setzen. Ableitung (v1 / 44, lty-punktiert) Heres die resultierende Handlung: Weve geglättet, aber zu Demonstrationszwecken ist der nächste Plot das Ergebnis von spec. pgram (x, spansc (13,13) , Taper0, logno) Hierbei werden jeweils zwei Durchläufe eines modifizierten Daniell-Kerns mit der Länge L 13 (also m 6) verwendet. Die Handlung ist etwas glatter, aber nicht viel. Die Gipfel, nebenbei bemerkt, sind an genau den gleichen Stellen wie in der Handlung unmittelbar darüber. Es ist definitiv möglich, zu viel zu glätten. Angenommen, wir würden einen modifizierten Daniell-Kernel der Gesamtlänge 73 (m 36) verwenden. Der Befehl ist spec. pgram (x, spans73, taper0, logno) Das Ergebnis folgt. Die Peaks sind weg Parametrische Schätzung der spektralen Dichte Die Glättungsmethode der Schätzung der spektralen Dichte wird als nichtparametrische Methode bezeichnet, weil sie kein parametrisches Modell für den zugrundeliegenden Zeitreihenprozess verwendet. Ein alternatives Verfahren ist ein parametrisches Verfahren, das das Finden des besten passenden AR-Modells für die Reihe und das anschließende Plotten der spektralen Dichte dieses Modells erfordert. Dieses Verfahren wird durch ein Theorem gestützt, das besagt, dass die Spektraldichte eines beliebigen Zeitreihenprozesses durch die Spektraldichte eines AR-Modells angenähert werden kann (von irgendeiner Ordnung, möglicherweise eine hohe). In R ist eine parametrische Schätzung der spektralen Dichte mit dem Befehl / der Funktion spec. ar leicht möglich. Ein Befehl wie spec. ar (x, logno) bewirkt, dass R die gesamte Arbeit ausführt. Um Peaks zu identifizieren, können wir den spec. ar-Ergebnissen einen Namen geben, indem wir so etwas wie specvaluesspec. ar (x, log no) durchführen. Für das Fischrekrutierungsbeispiel ist die folgende Handlung das Ergebnis. Man beachte, daß die aufgetragene Dichte diejenige eines AR (13) - Modells ist. Wir können sicherlich finden mehr sparsam ARIMA-Modelle für diese Daten. Verwenden Sie nur die spektrale Dichte dieses Modells, um die spektrale Dichte der beobachteten Serie zu approximieren. Das Aussehen der geschätzten spektralen Dichte ist ungefähr gleich wie zuvor. Der geschätzte El Nino Peak befindet sich an einem etwas anderen Ort, die Frequenz beträgt etwa 0,024 für einen Zyklus von etwa 1 / .024 etwa 42 Monaten. Eine Serie sollte vor einer Spektralanalyse abgetrennt werden. Ein Trend wird eine solche dominante Spektraldichte bei einer niedrigen Frequenz verursachen, dass andere Peaks nicht gesehen werden. Standardmäßig führt das R-Befehl spec. pgram einen Detrending mit einem linearen Trendmodell aus. Das heißt, die spektrale Dichte wird unter Verwendung der Residuen aus einer Regression geschätzt, die durchgeführt wird, wobei die y-Variablen-beobachteten Daten und die x-Variable t. Wenn ein anderer Trendtyp vorhanden ist, beispielsweise ein Quadrat, dann könnte eine polynomische Regression verwendet werden, um die Daten zu tarnen, bevor die geschätzte spektrale Dichte erforscht wird. Beachten Sie jedoch, dass der R-Befehl spec. ar. Führt jedoch keine Detrending durch Voreinstellung durch. Anwendung von Smoothern auf Rohdaten Beachten Sie, dass die hier beschriebenen Glättungsmittel auch auf Rohdaten angewendet werden können. Der Daniell-Kernel und seine Modifikationen sind einfach gleitender Durchschnitt (oder gewichteter gleitender Durchschnitt). Navigation16. Spektrale Schätzung Das spektrale Schätzproblem für eine diskrete Zeitreihe, die durch ein lineares, zeitinvariantes Verfahren erzeugt wird, kann in drei Modellen formuliert werden: autoregressiver (AR), gleitender Durchschnitt (MA) und autoregressiver gleitender Durchschnitt (ARMA). Analyseverfahren unterscheiden sich in jeder Leichtigkeit, und Spezifikationsfehler entstehen durch Anwendung des ungeeigneten Algorithmus. Die AR - und MA-Modelle führen jeweils zu den maximalen Entropie - (MEM) und klassischen Lag-Window-Ansätzen. Das ARMA-Modell weist viel seismisches Interesse auf, so dass die Einheitsimpulsantwort eines horizontal geschichteten Mediums auf diese Weise exprimierbar ist. Da ihre Rückkopplungskomponente die Mindestverzögerungseigenschaft aufweist, hat eine ARMA-Spektralschätztechnik, die diese Anforderung erfüllt, eine besondere seismische Relevanz. Eine solche spektrale Schätzung ergibt sich aus der Anwendung eines iterativen Algorithmus der kleinsten Fehlerquadrate auf ausgewählte Gates der beobachteten Zeitreihen. Ein Beispielsatz aus synthetischen Zeitreihen dient der Veranschaulichung der Verschlechterung der spektralen Schätzung, die sich aus einer falschen Spezifikation des Modells ergibt. In den letzten Jahren wurde viel über die Spektralanalyse von diskreten Zeitreihen geschrieben. Es gibt keine einzige richtige Technik zur Berechnung des Spektrums in der Abwesenheit von Wissen über die Art der Prozess, der die Daten erzeugt hat. Wie wir in Kapitel 9 gesehen haben, unterscheiden wir zwischen drei möglichen Prozessen: autoregressiv (AR), gleitendem Durchschnitt (MA) und autoregressiv-gleitendem Durchschnitt (ARMA). In der Technik beschreiben diese Prozesse jeweils das Allpol - (oder Rückkopplungs-), das Ganznull - (oder Vorwärtskopplungs-) und das Pol-Nullsystem (oder Vorschub-Vorwärtskopplungssystem). Im allgemeinen werden wir keine a priori Kenntnisse über den Erzeugungsmechanismus der Zeitreihen haben, und wir sind zu der Annahme gezwungen, daß unsere aufgezeichneten Daten tatsächlich einer dieser drei Darstellungen genügen. Sobald diese Entscheidung getroffen worden ist, müssen wir einen geeigneten Algorithmus für die Berechnung der tatsächlichen spektralen Schätzung auswählen. Im Falle des AR - oder Allpol-Modells ist das Maximum-Entropie-Verfahren (MEM), wie es mit einer Technik nach Burg (1967, 1975) implementiert ist, geeignet. Für das MA - oder All-Null-Modell greifen wir auf den klassischen Lag-Fenster-Ansatz zurück (Blackman und Tukey, 1959). In Anhang 16-1 geben wir die Mathematik der klassischen Lag-Fenster-Methode und in Anhang 16-2 die Mathematik der maximalen Entropie-Methode. Das ARMA - oder Polnullmodell hat auch in der neueren Literatur Aufmerksamkeit erregt: spektrale Schätztechniken wurden von Anderson (1971, Kap. 5), von Box und Jenkins (1970, Kapitel 6 und 7) sowie von Alam (1978). Die rationale Darstellung der Impulsantwort eines ARMA-Prozesses ergibt sich aus dem Verhältnis zweier Polynome in der komplexen Variablen z. In diesem Kapitel sind wir besonders interessiert an der Spektralanalyse von Seismogrammen. Wie wir in Kapitel 13 gesehen haben, kann die Einheitsimpulsantwort eines perfekt elastischen, horizontal geschichteten Mediums als das Verhältnis zweier solcher Polynome in den Kräften von z ausgedrückt werden. Aber mit der zusätzlichen Einschränkung, dass das Nennerpolynom die minimale Verzögerungseigenschaft aufweist. Mit anderen Worten, diese Bedingung zwingt die Pole des Systems, außerhalb des Umfangs des Einheitskreises z 1 in der komplexen Ebene zu liegen, und erlaubt uns, das ARMA-Polynomverhältnis in Form einer konvergenten Potenzreihe in z zu erweitern. Es ist daher wünschenswert, einen ARMA-Spektralschätzalgorithmus zu suchen, der einen minimalen Verzögerungsnenner garantiert. Während es keine intrinsische mathematische Notwendigkeit für eine ARMA spektrale Schätzmethode, um einen minimalen Verzögerung Nenner zu produzieren, haben wir gerade gesagt, dass eine solche Quest starke physische Motivation hat. Dementsprechend ist die minimale Verzögerungseigenschaft des Nenners ein starker Punkt, und eine nicht notwendigerweise. Geteilt durch andere ARMA Spektralschätzer. Inhaltsverzeichnis Sind Sie Mitglied bei SEG oder EEGS Wenn Sie ein SEG-Mitglied sind (mit Zugang zu SEG - und EEGS-Zeitschriften, erweiterten Abstracts und Verfahren und vergünstigten Mitgliedspreisen für einzelne Käufe von SEG-eBooks) oder haben Sie bereits Zugang dazu erhalten Inhalt separat, klicken Sie hier, um sich anzumelden und Zugang zu Ihrem gewünschten Inhalt. Wenn Sie ein EEGS-Mitglied sind (mit Zugang zu EEGS-Publikationen und dem SEG-Technischen Programm Expanded Abstracts), klicken Sie hier, um sich anzumelden und auf den gewünschten Inhalt zuzugreifen. Alle eBook-Inhalte können separat von Einzelpersonen und Institutionen gekauft werden. Kaufen Sie diesen Inhalt Wählen Sie eine der folgenden Optionen: SEG Digitale Bibliothek Institutionelle Optionen SEG hat seine Sammlung von Online-Büchern auf mehr als 100 Titel mit einer Kombination aus neuen und älteren Werken erweitert und eine ewige Zugriffsoption für die gesamte Sammlung hinzugefügt. 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Die Blackman-Tukey Spektralschätzungen werden auch mit den Schätzungen von Marple und Friedlander verglichen. Die Variabilität der Schätzungen von Marple und Friedlander mit Probengrößen wird untersucht. Obwohl sowohl Marples als auch Friedlanders Verfahren zufriedenstellend sind, ist die Friedlanders-Methode aufgrund ihrer Fähigkeit, eine breitere Klasse von Modellen zu behandeln, bevorzugt. Stochastische Modelle Spektralanalyse Referenzen Akaike, H. 1969: Montage von AR-Modellen zur Vorhersage. Ann. Inst. Statist. Mathe. 21, 243247 Google Scholar Beamish, N. Priestley, M. B. 1981: Studie zur autoregressiven und fensterspezifischen Schätzung. Appl. Statist. 30, 4158 Google Scholar Blackman, R. B. Tukey, J. W. 1959: Messung von Leistungsspektren aus der Sicht der Nachrichtentechnik. New York: Dover Google Scholar Box, G. E.P. Jenkins, G. M. 1970: Zeitreihenanalyse: Prognose und Kontrolle. San Francisco: Holden-Day Google Scholar Brockwell, P. J. Davis, R. 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